ANALISA MESH

Metode Arus Mesh, atau juga disebut dengan Metode Arus Loop, hampir sama dengan metode Arus Cabang dalam penggunaan persamaan KVL dan hukum Ohm untuk menghitung arus pada rangkaian. Yang membedakannya dengan metode Arus  Cabang adalah metode ini tidak menggunakan KCL, dan biasanya memiliki variabel yang tidak diketahuinya lebih sedikit dari pada metode arus cabang.

Arus Mesh, metode konvensional

Kita llihat bagaimana metode ini menyelesaikan contoh rangkaian yang sama seperti contoh sebelumnya

Langkah pertama pada metode arus mesh adalah mengidentifikasi loop-loop pada rangkaian yang mencakup semua komponen. Pada rangkaian contoh di atas, loop yang pertama terbentuk dari B₁, R₁, dan R₂, dan loop yang kedua terbentuk dari B₂, R₂, dan R₃. Bagian yang tampak aneh dari metode arus mesh adalah kita mengumpamakan arusnya bergerak mengitari masing-masing loop. Pada kenyataannya, nama metode ini didapatkan dari caranya menghubungkan (meshing) arus bersama-sama seperti menghubungkan gear.

Arah arus ini dipilih sembarang, sama seperti metode arus cabang, tetapi persamaan yang didapatkan lebih mudah untuk diselesaikan bila ada arus-arusnya memiliki arah yang sama melewati komponen interseksinya (perhatikan bagaimana arus I₁ dan I₂ keduanya sama-sama menuju ke bagian bawah dari R₂, dimana R₂ ini merupakan komponen interseksinya). Bila arah yang kita asumsikan salah, maka akan menghasilkan nilai arus yang negatif.

Langkah selanjutnya adalah memberi tanda polaritas tegangan pada resistor-resistor sesuai dengan arah arus mesh. Ingat bahwa terminal resistor yang dimasuki arus adalah terminal bertanda positif, dan terminal lainnya bertanda negatif. Polaritas baterai tentu saja mengalirkan arus dari teminal positif menuju terminal negatif, kebetulan pada contoh ini arah arus yang dihasilkan baterai “sama” dengan arah arus perumpamaannya.

Dengan menggunakan hukum tegangan kirchhoff (KVL), kita dapat menerapkannya pada masing-masing loop, sehingga menghasilkan persamaan yang berisikan tegangan drop dan polaritasnya. Sama seperti metode arus cabang, kita akan mengganti tegangan drop pada resistor diganti dengan perkalian antara arus mesh dengan resistansi (dalam ohm) . Sedangkan untuk komponen dimana kedua arusnya bertemu bersama, kita akan menuliiskannya dalam bentuk persamaan dengan arus resistor adalah jumlah dari kedua arus mesh.

Penjejakan pada loop sebelah kiri dimulai dari titik pojok kiri atas dan bergerak berlawanan dengan arah jarum jam (titik  awal bebas dipilih dari mana saja), mengukur polaritas masing-masing komponen menggunakan voltmeter, kita mendapatkan persamaan berikut ini:

-28 + 2 (I₁ + I₂) + 4I₁ = 0

Perhatikan bahwa bagian suku tengah dari persamaan itu merupakan jumlahan dari arus mesh (I₁ + I₂) adalah arus yang mengalir pada resistor R₂. Hal ini dikarenakan arus mesh I₁ dan I₂mempunyai arah yang sama (sama-sama masuk termminal yang bertanda positif) melewati R₂sehingga mempunyai tanda yang sama.  Dengan melakukan beberapa  operasi matematika diperoleh

- 28 + 2(I₁ + I₂) + 4I₁ = 0 bentuk persamaan yang asli

- 28 + 2I₁ + 2I₂ + 4I₁ = 0

- 28 + 6I₁ + 2I₂ = 0              adalah betuk persamaan yang paling sederhana

Kita sudah mendapatkan satu persamaan dari dua variabel yang tidak diketahui (I₁ dan I₂). Untuk mendapatkan dua variabel yang tidak diketahui ini, kita harus mempunyai minimal dua persamaan. Bila kita menjejaki loop yang lainnya pada rangkaian itu, kita akan mendapatkan persamaan KVL lainnya sehingga cukup untuk memeperoleh solusinya (nilai I₁ dan I₂). Kita mulai dari pojok atas kiri dari loop sebelah kanan dan bergerak berlawanan arah jarum jam:

-2(I₁ + I₂) + 7 – 1I₂ = 0

Disederhanakan menjadi

-2I₁ – 3I₂ + 7 = 0

Sekarang, dengan dua persamaan ini, kita bisa menggunakannya untuk mendapatkan nilai I₁ dan I₂:

-28 + 6I₁ + 2I₂ = 0                               persamaan KVL 1

-2I₁ – 3I₂ + 7 = 0                                 persamaan KVL 2

Persamaan disusun ulang agar memepermudah perhitungan

6I₁           +             2I₂           =             28

-2I₁         +             -3I₂         =             -7

Anda bisa menyelesaikannya dengan banyak cara. Bisa cara  eliminasi, subsitusi, atau menggunakan metode determinan matriks. Maka solusinya adalah

I₁ = 5 A

I₂ = -1A

Setelah mendapat solusinya kita kembalikan ke rangkaian awal:

Nilai negatif 1 ampere untuk I₂ menunjukkan bahwa arah arus I₂ yang kita umpamakan tadi adalah arah yang salah, karena arah yang sebenarnya merupakan kebalikan dari arah yang kita asumsikan tadi. Maka, dengan mengubah arah arus I₂, nilainya menjadi positif 1 ampere:

Setelah arah arus I₂ diubah,maka polaritas tegangan R₂ dan R₃ juga berubah. Kita dapat menghitung drop tegangan pada masing-masing resistor. Dari gambar di atas, kita dapat menghitung.

V_R1 = (4 Ω) (5 A) = 20 V (tanda positifnya berada di terminal sebelah kanan)

V_R3 = (1 Ω) (1 A) = 1 V (tanda positif berada di terminal sebelah kiri)

Nilai V_R1 dan V_R3 sudah kita dapatkan, namun apa yang terjadi dengan resistor R₃?

Arus mesh I₁ arahnya menuju kebawah R₂, sedangkan arah arus mesh I₂ arahnya ke atas R₂. Untuk mendapatkan nilai arus yang mengaliri R₂, kita harus melihat bagaimana arus mesh I₁ dan I₂ berinteraksi (pada kasus ini I₁ dan I₂ mempunyai arah yang berlawanan), maka kita harus menjumlahkannya secara aljabar. Karena arah arus I₁ ke bawah sebesar 5 ampere, dan I₂ keatas sebesar 1 ampere, maka arah arus yang mengalir pada R₂ adalah 4 ampere ke arah bawah.

Berarti, drop tegangan pada R₂ dapat dihitung

V_R2 = (2 Ω) (4 A) = 8 V (tanda positifnya berada di terminal sebelah atas)

Keuntungan utama dari analisa Mesh ini adalah kita akan mendapatkan persamaan yang lebih sedikit dari pada analisa cabang. Keuntungan ini akan lebih terasa bila kita mempunyai rangkaian seperti pada gambar berikut ini:

Bila kita menggunakan analisa arus cabang, kita akan mempunyai lima variabel yang tidak diketahui yaitu I₁, I₂, I₃, I₄, dan I₅. Berarti sekurang-kurangnya anda harus memiliki lima persamaan untuk mendapatkan solusinya. Lima persamaan ini diperoleh dari dua persamaan KCL dan tiga persamaan KVL (dua persamaan KCL pada node, dan tiga persamaan KVl pada tiap loop):

I₁ + I₂ + I₃ = 0                                       KCL pada node 1

-I₃ + I₄ – I₅ = 0                                     KCL pada node 2

E_B1 + I₂R₂ + IR₁ = 0                             KVL loop kiri

-I₂R₂ + I₄R₄ + I₃R₃ = 0                       KVL loop tengah

-I₄R₄ + V_B2 – I₅R₅ = 0                         KVL loop kanan

Lebih baik anda tidak perlu menghabiskan banyak waktu untuk menyelesaikan persamaan-persamaan  ini. Persamaan ini terlalu banyak dan memakan terlalu banyak waktu untuk diselesaikan.  Namun, apabila anda menggunakan analisa mesh, anda akan memperoleh persamaan yang lebih sedikit.

- E_B1 + R₂(I₁ + I₂) + I₁R₁ = 0                             KVL loop kiri

- R₂(I₂ + I₁) – R₄(I₂ + I₃) – I₂R₃ = 0                   KVL loop tengah

R₄(I₃ + I₂) + E_B2 + I₃R₅ = 0                                  KVL loop kanan

Dengan persamaan yang lebih sedikit ini, maka anda dapat menghitungnya lebih mudah, nyaman, dan lebih cepat.

Rangkaian lain yang bisa diselesaikan dengan analisa mesh adalah jembatan Wheatstone yang tidak seimbang. Seperti contoh berikut ini:

Karena rasio dari R₁/R₄ dan R₂/R₅ adalah tidak sama, maka jembatan ini tidak seimbang. Sehingga resistor R₃ akan dialiri arus dan ada drop tegangan pada R₃. Seperti pada pembahasan sebelumnya, rangkaian ini tidak bisa dianalisa menggunakan metode seri-paralel.

Kita dapat menggunakan metode arus cabang pada rangkaian ini, tetapi dengan menggunakan metode arus cabang maka akan dihasilkan enam variabel arus yang tidak diketahui (yaitu I₁sampai I₆) sehingga persamaan yang dihasilkan pun terlalu banyak dan membutuhkan waktu yang lama untuk mendapatkan solusinya. Maka kita dapat menggunakan analisa mesh yang menghasilkan variabel dan persamaan yang lebih sedikit.

Langkah pertama analisa mesh adalah menentukan arus mesh pada semua bagian rangkaian. Perhatikan gambar rangkaiannya, ada dua tempat (loop) yang berisi arus mesh:

Arah arusnya bisa dipilih sembarang. Namun, dua arus mesh saja tidak cukup, karena I₁ ataupun I₂ tidak/belum menjangkau baterai. Berarti kita harus menambah arus mesh yang ketiga, yaitu I₃:

Disini, kita memilih loop arus I₃ bergerak dari bagian bawah baterai, melalui R₄, melalui R₁, dan kembali ke bagian atas baterai. Sebenarnya jalur ini bukan satu-satunya jalur yang bisa dipilih untuk I₃, tetapi jalur ini dipilih karena sepertinya jalur ini adalah yang sederhana. (Sebagai contoh: jalur  lain yang bisa anda pilih untuk I₃ adalah dari terminal negatif baterai menuju R₅, lalu keR₂, dan kembali ke terminal positif baterai)

Selanjutnya kita harus menetukan polaritas dari drop tegangan pada resistor-resistor, berdasarkan arah arus yang telah kita umpamakan tadi.

Perhatikan gambar, ada hal penting disini: pada resistor R₄, polaritas tegangan akibat arus-arus yang melewatinya tidaklah sama. Ini dikarenakan arus mesh (I₂ dan I₃) melewati R₄ tidak dalam arah yang sama. Namun, masalah ini bukanlah penghalang penggunaan analisa mesh, tetapi ini akan menimbulkan sedikit kerumitan. Lanjut ke tahap berikutnya.

Persamaan KVL untuk loop bagian atas sebelah kanan, bergerak searah jarum jam, diperoleh:

50I₁ + 100(I₁ + I₂) + 150(I₁ + I₃) = 0

Lalu kita keluarkan variabel yang berada dalam kurung menjadi

50I₁ + 100I₁ + 100I₂ + 150I₁ + 150I₃ = 0

Disederhanakan menjadi

300I₁ + 100I₂ + 150I₃ = 0                  ini adalah bentuk paling sederhana

Persamaan KVL untuk loop kanan bagian bawah tidak mudah ditentukan, karena ada dua arus yang arahnya saling berlawanan, yaitu pada R₄. Karena arahnya yang berlawanan, maka tanda I₂dan I₃ juga berlawanan. Bergerak berlawanan arah jarum jam:

100(I₁ + I₂) + 300(I₂ - I₃) + 250I₂ = 0                             ini adalah bentuk aslinya,

Keluarkan variabel yang berada dalam kurung, menjadi

100I₁ + 100I₂ + 300I₂ – 300I₃ + 250I₂ = 0

Lalu disederhanakan menjadi

100I₁ + 650I₂ – 300I₃ = 0

Coba perhatikan persamaan bentuk aslinya. Kita lihat nilai R₄ yaitu 300 Ω dikalikan dengan perbedaan antara I₂ dan I₃ yaitu (I₂ – I₃). Ini menunjukkan bagaimana merepresentasikan efek dari dua arus mesh yang memiliki arah yang berlainan, melewati suatu komponen. Tetapi anda bebas menentukan, anda ingin menulis 300(I₂-I₃) atau ingin menulis 300(I₃-I₂) tergantung arah arus mesh yang anda ambil (sama atau berlawanan arah jarum jam), yang pasti tanda I₂ dan I₃adalah berlawanan. Analogi ini juga berlaku untuk R₁ (pada persamaan KVL bagian kanan atas), dimana drop tegangannya adalah 150(I₁+I₃), karena I₁ dan I₃ keduanya sama-sama mempunyai arah dari bawah menuju atas R₁, sehingga drop tegangan yang dihasilkan adalah bersama (tanda yang sama).

Jadi, kita sudah mempunyai dua persamaan. Kita  masih membutuhkan satu persamaan lagi untuk memperoleh solusinya. Persamaan ketiga ini sudah tentu diperoleh dari loop yang sebelah kiri. Untuk mendapatkan persamaannya kita mulai penjajakan dari baterai lalu bergerak searah jarum jam(tidak sama dengan arah arus mesh nya tidak apa-apa), menghasilkan:

24 – 150(I₃ + I₁) – 300(I₃ – I₂) = 0

Keluarkan variabel dari dalam kurung

24 – 150I₃ – 150I₁ – 300I₃ + 300I₂ = 0

Disederhanakan

-150I₁ + 300I₂ – 450I₃ = -24

Karena kita sudah mempunyai tiga buah persamaan, kita bisa mendapatkan nilai I₁, I₂,dan I₃.

300I₁      + 100I₂ + 150I₃                 =             0

100I₁      + 650I₂                  – 300I₃  =             0

-150I₁    + 300I₂                  – 450I₃ =             -24

Solusinya adalah:

I₁ = -93.793 mA

I₂ = 77.241 mA

I₃ = 136.092 mA

Tanda negatif pada I₁, ini berati arah arus yang kita asumsikan tadi salah. Jadi, arah arus yang sebenarnya pada rangkaian adalah :

I_R1 = I₃ – I₁ = 136.092 mA – 93.793 mA = 42.299 mA

I_R3 = I₁ – I₂ = 93.793 mA – 77.241 mA = 16.552 mA

I_R4 = I₃ – I₂ = 136.092 mA – 77.241 mA = 58.851 mA

I₃ > I₁ > I₂

I_R5 = I₂ = 77.241 mA

Hitung drop tegangan pada masing-masing resistor

V_R1 = I_R1R₁ = (42.299 mA)(150 Ω) = 6.3448 V

V_R2 = I_R2R₂ = (93.793 mA)(50 Ω) = 4.6897 V

V_R3 = I_R3R₃ = (16.552 mA)(100 Ω) = 1.6552 V

V_R4 = I_R4R₄ = (58.851 mA)(300 Ω) = 17.6552 V

V_R5 = I_R5R₅ = (77.241 mA)(250 Ω) = 19.3103 V

Contoh yang lain:

Temukan jalur baru untuk arus I₃ sehingga arah arus I₃ tidak berlawanan dengan arah I₁ dan I₂(sehingga arus I₃ tidak “bertabrakan” dengan arus I₂ di resisitor R₄). Lalu tentukan nilai I₁, I₂, dan I₃. Hitung arus yang melewati masing-masing resistor lalu Bandingkan hasilnya dengan contoh sebelumnya.

Solusi:

Buat jalur I₃ melewati R₅, R₃, dan R₁ seperti ditunjukkan pada gambar:

Maka diperoleh bentuk asli persamaannya :

50I₁ + 100(I₁ +I₂ + I3) + 150(I₁ + I₃) = 0

300I₂ + 250(I₂ + I₃) + 100(I₁ + I₂ + I₃) = 0

24 – 250(I₂+I₃) – 100(I₁+I₂+I₃) – 150(I₁+I₃)=0

Dengan menyederhanakan persamaan diatas,diperoleh persamaan:

300I₁      + 100I₂ + 250I₃ =             0

100I₁      + 650I₂ + 350I₃ =             0

-250I₁    – 350I₂   – 500I₃   =             -24

Perhatikan bahwa polaritas yang berlawanan pada R₄ berhasil dihindari.

Setelah dihitung diperoleh

I₁ = -93.793 mA

I₂ = -58.851 mA

I₃ = 136.092 mA

Arus yang melewati masing-masing resistor adalah

I_R1 = I₁ + I₃ = -93.793 mA + 136.092 mA = 42.299 mA

I_R2 = I₁ = -93.793 mA

I_R3 = I₁ + I₂ + I₃ = -93.793 mA -58.851 mA + 136.092 mA = -16.552 mA

I_R4 = I₂ = -58.851 mA

I_R5 = I₂ + I₃ = -58.851 mA + 136.092 mA = 77.241 mA

Ternyata meskipun jalur I₃ yang kita ambil berbeda dengan contoh sebelumnya, nilai arus yang melewati masing-masing resistor adalah sama dengan hasil pada contoh sebelumnya. Karena arus yang melewati masing-masing resistor adalah sama, maka tegangan dan polaritasnya juga akan sama.

SUMBER : http://elkaasik.com/metode-analisa-mesh-loop/